GRUPO DE INVESTIGACIÓN EDUCACIÓN MATEMÁTICA E
HISTORIA (UdeA-EAFIT)
EDUMATH
Fortalecimiento del desarrollo profesional
docente a través de colectivos de profesores de matemáticas
Unidad didáctica: ¿Cómo
entienden los estudiantes un problema matemático? Enfoque didáctico: pensar la
matemática antes de la teoría.
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Identificación de
los participantes:
Nombres
Javier Andrade Romero[1]
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Grado en que se desarrollará la unidad didáctica: 9º.
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Tiempo de desarrollo de la unidad didáctica: 1 mes.
Objetivos de la unidad didáctica
a) Comprender
que la matemática es una actividad de resolución problemas que va más allá del
aula para que el alumno enfrente situaciones problema en contexto.
b) Reconocer
qué es un problema matemático y cómo utilizar estrategias para solucionarlo, a
través de representaciones de objetos, proposición de ideas, construcción de
argumentos, uso de conceptos, discusiones y elaboración de modelos.
Materiales
Computador con
internet, video beam, sonido, hojas bond, cartulinas, hojas milimetradas, mesas,
reglas, cinta métrica
Pensamientos y procesos que se desarrollan con la unidad
Pensamientos
principales asociados: Métrico – espacial.
Procesos principales asociados: Resolución de
problemas, comunicación.
Problemática
La experiencia da cuenta que los estudiantes normalmente
están familiarizados con los típicos modelos de problemas, “La edad de
Pedro...”, “Cuanto tiene Luis…”, y otros
de este estilo, que generalmente se proponen para ser resueltos bajo un esquema
lineal rígido, que sigue pasos como:
1)
Leer
y entender el enunciado
2)
Subrayar
los datos y la pregunta
3)
Escoger
la operación o formula
4)
Resolver
5)
Responder
con respuesta completa
No tan lejos de la clásica, y bien conocida,
formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para resolver
un problema: Comprender el problema, desarrollar un plan, llevar a cabo el plan
y revisar.
En el marco de nuestra experiencia,
hemos notado que lo que entienden los estudiantes por problema es, entonces, un
tipo muy acotado de situación que solo existe en la clase de matemáticas y cuya
solución depende de cuatro operaciones básicas… “Si sale la palabra más,
juntar, agrupar, es suma”, “Con las palabras gastar, quitar, prestar, faltar,
perder,…es resta”, “Si aparece la palabra veces es de multiplicación”, “Si es
un problema difícil es de división”
El currículo escolar
colombiano nos indica pautas para ir más allá: formular y resolver problemas,
modelar procesos y fenómenos de la realidad, comunicar, razonar, formular,
comparar, ejercitar procedimientos y algoritmos. Por ello nuestra propuesta se
enmarca en este currículo y en nuevos procesos pedagógicos que apuntan a una
nueva manera de ver la relación: docente-matemática-estudiante. Y tratar de
romper con la visión general de una clase de matemáticas.
Marco
teórico que sustenta la propuesta
Las situaciones problema como estrategia para la
conceptualización matemática
Obando
y Múnera (2003) mencionan que “una situación problema la podemos interpretar
como un contexto de participación colectiva para el aprendizaje, en el que los
estudiantes, al interactuar entre ellos mismos, y con el profesor, a través del
objeto de conocimiento, dinamizan su actividad matemática, generando procesos
conducentes a la construcción de nuevos conocimientos. Así, ella debe permitir,
la acción la exploración, la sistematización, la confrontación el debate, la
evaluación, la autoevaluación y la heteroevaluación.”
Lo
importante es que la situación problema vincule de manera activa al estudiante
en la elaboración teórica, haga del arte de conocer un proceso no acabado,
permita utilizar aspectos contextuales como herramientas dinamizadoras de
aprendizaje y relaciones las conceptualizaciones particulares con las formas
universales socialmente construidas (Obando y Múnera, 2003, p. 186).
ACTIVANDO
LA RESOLUCION DE PROBLEMAS EN EL AULA
¿Es
lo que hace un matemático para resolver un problema lo mismo que hace un niño o
niña en una clase de matemáticas para resolver un problema?
Hay
una gran diferencia: un matemático elige el problema que va a abordar, estudiar,
analizar, (…) mientras que un niño a niña en clase de matemáticas, tiene que
resolver los problemas que le impongan, no puede elegir. Y hay una gran
coincidencia: ambos experimentan LA INQUIETUD-ANSIEDAD-VERTIGO de no saber cómo
resolverlo y LA SATISFACCION-ALEGRIA-GLORIA de alcanzar la solución. Estas
secuencias de emociones forman parte de la matemática y la acumulación de
experiencias positivas da fuerza, permiten aprender y fortalecer el ánimo de
seguir adelante en la resolución de problemas (Felmer, 2015).
1.1. Actividades propuestas
Actividad 1
a) Hacer
y recortar un cuadrado de 5cm X 5cm, ¿Cuál es el área de la figura?, ¿Cuál es
su perímetro?
b) Hacer
y recortar un cuadrado de 10 cm X 10 cm; dentro de este, hacer una cuadricula 2cm
X 2cm. ¿Cuántos cuadrados resultaron?, ¿Cuál es la dimensión de cada lado de
los cuadrados?, ¿Cuál es el área de cada cuadrado?, ¿Cuál es el perímetro de
cada cuadrado?
c) Hacer
y recortar un cuadrado de 15 cm X 15 cm, dentro de este hacer una cuadricula de
3cm x 3cm. ¿Cuántos cuadrados resultaron?
d) El
cuadrado 5 cm X 5 cm ¿Cuántas veces cabe en el cuadrado de 15 cm X 15 cm?
e) El
cuadrado 5 cm X 5 cm ¿Cuántas veces cabe en un cuadrado de 20 cm X 20 cm?
f) El
cuadrado 10 cm X 10 cm ¿Cuántas veces cabe en un cuadrado de 20cm X 20cm?
g) Haga
las gráficas de las cuadriculas en papel milimetrado. Compare sus respuestas en
las gráficas.
Actividad 2
Resolución
de problemas en acción
Una
vez de realizados los trabajos de manipulación, gráficas y experimentación,
damos paso a problemas con cierto contenido de abstracción, los cuales
requieren mayor análisis.
a) ¿Cuantos
cuadrados hay?
Figura 1. Cuadrado 4cmx4cm
b) Y
¿si el cuadrado es 5cmx5cm, 6cmx6cm,…?
c) Si
Manuela tiene una caja grande con tres cajas medianas dentro de ella, cuatro
cajas chicas en cada una de las medianas y cinco todavía más pequeña en cada
una de las chicas. ¿Cuántas cajas tiene Manuela en total?
d) ¿Cómo
se calcula el volumen de un cubo? ¿Cómo se calcula el volumen de un
paralelepípedo?
e) Construya
un rectángulo de 30 cm X 30 cm, 3 de 10 cm X 30 cm, 12 de 2,5 cm X 30 cm y 50
de 6 cm X 2,5 cm. ¿puede representar la situación problema del punto C?, ¿Le ayuda
esto a resolver el punto C?
f) Un
papel Cuadrado se dobla por la mitad, y luego nuevamente por la mitad, y así
sucesivamente. ¿Cuántas capaz de papel habrá si se dobla 6 veces?
g) Realizar
las potencias de 2 hasta la potencia 6. ¿Qué relación tiene con el punto
anterior?
Actividad 3
Pensar
la matemática antes de la teoría
Con
esta actividad damos paso a problemas generales, que para el educando
significan retos o desafíos y de esta forma ir cultivando en su mente la
capacidad de pensar para que entienda y pueda resolver problemas.
a) ¿Que
figura se obtiene al juntar dos triángulos rectángulos isósceles?
b) Si
duplicamos las aristas de un cubo, ¿cuántas veces se expandirá su volumen?
c) Si
usted en su casa cuenta con 7,6 metros cúbicos de arena. ¿Cómo será de gruesa
la capa de arena si se distribuye uniformemente en un foso que tiene 5 metros
de largo y 3,8 metros de ancho?
d) ¿Una
gallina y media ponen un huevo y medio en un día y medio. ¿Cuántos huevos pone una
gallina en un día?
e) En
un cajón de mi cuarto guardo todas mis medias sueltas en forma un poco
desordenada. Tengo 24 medias blancas iguales y 11 medias negras iguales (si,
una de mis medias perdió un par), cuando voy a trabajar por la mañana me
levanto muy temprano y no quiero despertar a mi mama, así que no enciendo la
luz y saco las medias a tientas. ¿Cuál es el número de medias que tengo que
sacar para asegurarme que, al salir de la habitación, pueda armar un par de
medias del mismo color?
f) Sí
en el cajón, a oscuras, hay 6 medias negras, 8 medias blancas, 12 medias rojas,
6 verdes y una media amarilla a lunares, ¿cuántas medias sería necesario sacar
como mínimo ahora para poder armar un par?
g) La
profesora Casandra compra dulces para repartir entre sus alumnos con la idea de
darle 2 dulces a cada uno (compra la cantidad justa para este propósito). Sin embargo, sus alumnos varones se portan
muy mal, así que en castigo decide darle solo un dulce a cada niño y 5 dulces a
cada niña. ¿Qué parte del curso corresponde a alumnos varones?
Actividad
4
Con lo aprendido en la actividad 1 y la actividad 2
damos paso a la matemática en contexto.
Caso específico: Huerta escolar.
·
MATERIALES: Papel, lápiz, borrador, cinta métrica.
·
ACTIVIDAD: Ir a la huerta escolar para medir el
área y el perímetro que ocupa cada cultivo.
·
APLICO LO APRENDIDO:
a) ¿Cuál
es el área de cada cultivo?
b) ¿Cuál
es el perímetro de cada cultivo?
c) Graficar la huerta con las medidas de cada
cultivo.
d) ¿Cuál
es el área de la huerta?
e) ¿Cuál
es el perímetro de la huerta?
f) ¿Qué
figuras forman?
g) ¿Con
que figura cubrirá más área?
h)
Actividad 5
Retomando
las actividades anteriores y con el reconocimiento de las propiedades de
algunas líneas y figuras representadas en las gráficas construidas,
estudiaremos algunas aplicaciones del contexto cercano y también matemático, a
través de la comprensión del teorema de Thales. Para familiarizarnos con el
tema, consulta una breve biografía de Thales de Mileto y cómo descubrió el
teorema, prepara una presentación corta para tus compañeros.
Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los
segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra.
Aplicación del teorema de Thales en la vida real
Objetivo: Medir la altura de algunas estructuras aplicando el Teorema de
Thales
Materiales: 1 metro, lápiz, regla, fotocopias
Procedimiento:
Con la ayuda de un metro, mide la sombra proyectada de un edificio, un
muro o estructura, pide a un compañero que se ponga de pie justo donde termina
la sombra de la edificación o estructura y toma la medida de la sombra
proyectada de tu compañero al igual que la altura de tu compañero, apunta los
datos en la siguiente tabla. Repite el procedimiento para calcular la altura 5
edificaciones o estructuras.
Tabla 1: Registro de datos
activadas de sombras
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Objeto |
Medida de la sombrea proyectada |
Altura del compañero |
Razones y proporciones Teorema de Thales |
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Muro |
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Árbol |
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Edificio |
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Nota: realiza el ejercicio en un día soleado.
Análisis:
A. Elabora un esquema o dibujo.
B. Teniendo en cuenta el teorema de Thales calcula la altura de las
edificaciones.
C. ¿Coincide la altura encontrada con la altura real de la edificación u
objeto?
D. Es necesario que los objetos estén en paralelo, ¿por qué?
E. ¿Cuándo dos triángulos son semejantes? explica y elabora un esquema.
1.2. Evaluación de la unidad
didáctica
a)
¿Qué aprendió del desarrollo de la actividad 1, 2 y
3?
b)
¿Qué es un problema matemático?
c)
¿Los humanos siempre hemos resuelto problemas?
d)
¿La resolución de problemas proporciona oportunidades
para el desarrollo matemático de los jóvenes?
e)
¿Qué es una situación problema?
f)
¿Un problema le supone un desafío?
g)
La señora Juana tenía que preparar la comida, y
necesitaba comprar 5 Kilos de papa en la tienda. Cada Kilo costaba $300. La
Señora Juana pago con $5000. ¿Cuánto vuelto le dieron en la tienda?
h)
La señora Juana colecciona números naturales cuyo
dígito de las unidades es la suma de los otros dígitos. Ej. 10023 ¿Cuál es el
mayor número sin el dígito cero que puede aparecer en la colección?
i)
¿En que se distinguen los problemas g y h? Depende
¿cierto?
j)
¿Son
desafiantes dependiendo de la edad de los niños?
k)
¿Lo
aprendido en el aula lo puede aplicar para solucionar problemas de la vida
diaria?
